Les fonctions génératrices

Définition

Une fonction génératrice est une fonction dont les coefficients du développement polynomial vont être utilisés pour définir une suite.

La suite, ainsi que le développement polynomial, peuvent être finis ou non.


Par exemple:

$ \large \frac 1 {1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... $ , valable pour $ \large x \in \mathbb R $ et $ \large \lvert x \rvert < 1 $ .

On dit que la fonction $ \large f(x) = \frac 1 {1-x} $ est génératrice de la suite $ \large a=\{1,1,1,... \}$ , autrement définie par : $ \large a_n=1 , \forall n \in \mathbb N $.


Ou encore:

$ \large (1+x)^n = \sum_0^n { C_n^k x^k } $ , la fonction $ \large f(x) = (1+x)^n $ est génératrice de la suite (finie) $ \large a_k = C_n^k $ , pour k=1 à n.


L’ensemble de définition de la variable x n’est pas toujours précisé. Quelques fois on dit qu’on se restreint à l’intervalle réel [0,1], mais on peut très bien étendre à $ \large \mathbb R $, voire à $ \large \mathbb C $, où la série peut très bien être divergente. Ce qui est important c’est de pouvoir faire des calculs symboliques, afin d’identifier les coefficients.